Вторая версия похожа с первой: когда просят подаяния, протягивают руку. Может быть, «дойти до ручки» значит «просить милостыню»? Хотя, согласитесь, странно, что здесь не «рука», а «ручка». Вполне возможно, что в этом фразеологизме говорится о работе, которая не требовала мастерства, например, крутить ручку станка.