Советский и российский композитор, пианист и педагог, сын композитора Якова Эшпая. Народный артист СССР, Лауреат Государственной премии СССР.

Родился в городе Козьмодемьянск, его отец был композитором, мать – учительницей русского языка и литературы. С 1928 года семья Эшпая переезжает в Москву, в столице Андрей заканчивает музыкальную школу имени Гнесиных (класс В.В. Листовой). Его музыкальное обучение было прервано годами Великой Отечественной войны. В эти годы композитор проявляет отвагу и учится в Оренбургском пулеметном училище, так же оканчивает школу военный переводчиков. С 1943 г. Эшпай добровольцем ушел на фронт и воевал во взводе разведки до Победы. Был награжден орденом Красной Звезды (1945).

В послевоенные годы Андрей Яковлевич возвращается к музыкальной деятельности, он учится в Музыкальном училище при Московской консерватории на фортепианном и композиторском факультетах. В 1953 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П.И. Чайковского по классу композиции у Е.К. Голубева и по фортепиано у В.В. Софроницкого. Там же в 1956 году окончил там же аспирантуру (руководитель А.И. Хачатурян).

Андрей Яковлевич оставил большое творческое наследие, которое насчитывает более тринадцати видов жанров (балеты, оперетты, хоровые произведения, камерно-инструментальные и камерно-вокальные сочинения и др.). В числе его патриотических опусов такие произведения как балеты «Ангара» (по пьесе А.Н. Арбузова «Иркутская история», 1976), «Помните!» (1981), кантата «Ленин с нами» (слова В.В. Маяковского, 1968), Праздничная увертюра «Кремлевские куранты» (1970), «Переход Суворова через Альпы» симфоническая картина для большого оркестра (1996). Особой трагической темой жизни и творчества Эшпая стала тема войны. Песня «Москвичи (Сережка с Малой Бронной)», «Песня о Родине», Симфония № 1 «Памяти погибших фронтовых друзей», музыка к к/ф «Майор Вихрь» – это память о фронтовом братстве, память о павших в боях и в тылу в Великой Отечественной войне, память о советском народе, сумевшем отстоять свою Родину.